<길동이의 미시경제학> 6-1. 효용함수와 무차별곡선

안녕하세요! 길동이 사촌형입니다 ;)

 

길동이는 벌써 미시경제학을 지겨워하던데...

여러분은 부디 잘 따라오시길

응원합니다 😏

 

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오늘 내용을 제대로 이해하기 위해서는 선호체계에 대해 먼저 알아야 합니다.

https://philip35171.tistory.com/14

<길동이의 미시경제학> 5. 선호체계 (선호체계의 의미, 선호체계의 공리)

 

 

 

이 글을 읽어보셨다는 전제하에!

6장 드갑시다.

 

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1. 효용함수

 

1-1. 효용함수의 의미

선호체계의 네 가지 공리가 모두 충족된 경우에, 우리는 구체적인 효용함수를 상정할 수 있습니다

효용함수는 각 상품묶음이 가져다주는 효용을 '숫자'로 표현해 준다는 점에서 매우 유용하죠.

 

예를 들어볼까요,

길동이에게 초코파이와 몽쉘에 대한 선호를 물어보았습니다.

초코파이는 5만큼, 몽쉘은 7만큼 좋아한다고 하네요.

U1(초코파이) = 5, U1(몽쉘) = 7.

그리고 다음날에 길동이에게 한 번 더 같은 질문을 던졌습니다.

그런데 이번에는 길동이가 초코파이는 5만큼, 몽쉘은 700만큼 좋아한다고 대답했네요,,,

U2(초코파이) = 5, U2(몽쉘) = 700.

 

길동이는 다른 답을 한 것일까요?

첫날은 분명 몽쉘을 조금 더 좋아한다고 했는데 두번째 날에는 100배 훨씬 더 넘게 몽쉘을 좋아한다고 했으니까요....

 

하지만.

경제학에서만큼은, 두 대답은 본질적으로 동일합니다.

5장에서 선호체계를 공부할 때 배웠듯이 (아직도 5장 안 읽고 오셨나요?!!),

길동이는 세 가지 중에 하나를 답해야 합니다.

- 초코파이가 더 좋아

- 몽쉘이 더 좋아

- 둘 다 똑같아~~

 

길동이는 두 번 모두 몽쉘이 더 좋다고 답을 했죠.

경제학에서는 어떤 선호 순서를 부여하는 지에만 관심이 있을 뿐

선호하는 정도의 크기는 관심을 가지지 않습니다.

 

따라서 결론 지을 수 있겠네요

경제학에서 효용의 개념이란 서수적 효용(ordinal utility)이랍니다.

이로부터 한 선호체계를 대표하는 효용함수가 꼭 하나만 있는 것이 아니라는 사실을 도출할 수 있죠.

당장 길동이의 초코파이와 몽쉘에 대한 선호도를 나타내는 효용함수가 U1, U2 모두 가능하다는 것을 보았으니까요.

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1-2. 효용곡면과 무차별지도

쌀과 옷의 양이 각각 x, y로 주어졌을 때, 효용의 수준을 그 둘의 곱으로 나타내는 효용함수 U를 설정해 봅시다.

이 효용함수로부터 효용곡면을 도출할 수 있는데요

x축을 쌀(x), y축을 옷(y), 수직축(z축)을 효용의 크기(U(x, y))라고 둔 다음 x와 y의 조합에 따른 효용을 3차원 그래프로 표현하면 아래와 같은 곡면이 나옵니다.

효용곡면(utility surface)

이 효용곡면은 아래와 같이 표현이 가능해요.

특정(x1, y1)과 무차별한(기호: ~) 모든 (x, y)의 집합.

특정(x1, y1)과 효용이 같은 모든 (x, y)의 집합.

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효용곡면은 x와 y의 조합에 따른 효용을 그래프로 표현한 것이죠.

하지만 여러분,

저 그래프로 분석을 하고 싶으신가요? 🥲

(3차원은 수식으로 접근하기에 다소 귀찮은 부분이 없지 않아 있으니...)

조금 더 심플하게 해봅시다.

 

효용곡면에서 수직축에 직각으로 곡면을 잘랐다고 해봅시다.

z축이 효용의 정도니까, 잘랐을 때 생기는 곡선상에서는 모두 효용이 같겠죠?

이렇게 도출한 효용이 같은 점들을 2차원으로 표현한 것이 '무차별 지도'입니다.

마치 소비자의 선호체계를 지도(map)처럼 표현한 것 같다고 해서 이러한 이름이 붙었어요.

눈으로 보는 게 훨씬 이해에 좋겠지요

왼쪽 그림에서 수직축에 직각으로 잘랐다고 상상하면 위와 같이 보라색 곡선이 등장하겠죠?

이 곡선 위에서는 어떤 점이든 효용이 다 같습니다.

그 곡선을 위에서 아래로 다 눌러버렸다고 생각하세요

그러면 오른쪽 그림과 같이 2차원 평면상에 곡선들이 그려집니다. (실제로는 두 개보다 훠~~얼씬 많죠)

이때 생기는 지도를 무차별지도라고 부르고, 무차별지도 위에 있는 개별적인 곡선을 무차별곡선이라고 합니다.

 

무차별곡선이 뭔지만 알고 어떻게 비롯된 것인지는 모르는 분들이 꽤 있을거라고 생각하는데요,

효용곡면에서부터 도출된 것이랍니다.

효용곡면에서 효용이 같은 점들을 모아놓은 곡선이 곧 무차별곡선인 것이므로,

같은 무차별곡선 위에 있는 점이라면 효용이 모두 같습니다. (중요)

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2. 무차별곡선

 

2-1. 무차별곡선의 기본적 성격

무차별곡선(indifference curve): 소비자에게 똑같은 수준의 효용을 주는 상품묶음의 집합을 그림으로 나타낸 것.

 

무차별곡선은 크게 다섯 가지 성격을 지녔습니다.

이들은 선호체계의 공리와 아주 밀접한 관련이 있죠.

- 제1 사분면의 모든 점은 그것을 지나는 하나의 무차별곡선을 가짐 ('완비성' 공리와 밀접)

- 우하향하는 모양 ('강단조성' 공리와 밀접)

- 원점에서 멀리 떨어질 수록 더 높은 효용수준을 가짐 ('강단조성' 공리와 밀접)

- 두 무차별곡선은 서로 교차할 수 없음 ('이행성' 공리와 밀접)

- 무차별곡선은 원점에 대해 볼록한 모양 (볼록성)

볼록성 수식화

물론 위 성격들은 일반적인 형태의 무차별곡선이고요,

언제나 예외는 존재하죠.

 

무차별곡선을 마주할 때면 그 기울기에 항상 주목해야 합니다.

무차별곡선의 기울기는 두 상품 사이의 주관적 교환 비율을 나타내는데요,

(위 그래프의 경우, 쌀 몇 단위와 옷 몇 단위를 교환해야 마땅한지)

 

그게 바로

한계대체율이랍니다.

 

(다음 시간에 계속)

 

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지금까지 길동이 사촌형이었습니다

휭휭

쩝... (슉슉은 표준어가 아니래요)